初中理解的函数和高中理解的函数在概念是一样的，都是从实数集的子集通过某个函数映射到实数集的子集，只是映射的函数不同。初中学的无非是线性函数和二次函数，学的无非也就是求最值初中数学函数和高中数学函数异同；高中就会有很多，有指数函数、对数函数等等，而且次数也会更高，甚至函数可以看成是无穷次多项式（展开成幂级数），这时研究他们就会用求导的方法，研究单调性，略微加一些可导性和连续性，研究的稍微多样一些。
大学所学的函数，那就相当有深度了。定义域是复数域，值域是复数域，这门学科叫复变函数；定义域是概率空间，值域为（可分）Banach空间（实数域或复数域就是可分Banach空间，数学专业高年级的概率论会研究抽象函数，低年级的概率论值域为实数域），这门学科叫概率论；定义域为函数空间，值域为复数域，这门学科叫泛函分析......概念上仍然同初、高中差不多，但是因为研究的集合可以从数域扩充到很抽象的空间，如Lebesgue函数空间、Lp空间，李群、以及其他可测空间，再加上很多新的工具，比如微分工具、级数理论等等，再比如通过商空间，定义函数类，把几乎处处相等的函数看成一个函数（就像把奇数看成1，偶数 看成0，进行同余运算），很多很多扩展，会诞生出很多很有意思也很难的学科。但是从概念看，只是把定义域与值域做了推广而已；从技巧上看，会用到大量的工具，有分析的、也有代数的。
因此你可以看出，集合论是数学的基础，而函数不是。记得奥赛老师给我们培训的时候就说过，实话告诉你们，集合才是数学的基础。当时我不信。后来一直学啊一直学，才发现集合的重要性。数学研究也一直在研究集合的结构、集合的推广。
如果有悬赏就多给些，我没财富了，有个问题要提，看在我打这么多字的份上，多给些吧。谢谢！