原式化为xf'(x)-f(x)>0.f(x)/x的导数为(xf'(x)-f(x))/x2.所以f(x)/x在x>0内是增函数.f(x1+x2)/(x1+x2)>f(x1)/x1.f(x1+x2)/(x1+x2)>f(x2)/x2.两式相加得
高中数学导数的题，如图
(1)a=2,f(x)=5/2ln(1+x^2)+2x
f'(x)=5/2*2x/(1+x^2)+2=(5x+2+2x^2)/(1+x^2)=(2x+1)(x+2)/(1+x^2)=0
得到x1=-2,x2=-1/2
故有极大值是f(-2)=5/2ln5-4
有极小值是f(-1/2)=5/2ln5/4-1
(2)f'(x)=(a^2+1)/2*2x/(1+x^2)+a=[(a^2+1)x+a+ax^2]/(1+x^2)=[(ax+1)(x+a)]/(1+x^2)=a(x+1/a)(x+a)/(1+x^2)
因为 a<0,当-1/a>-a时有-1<a<0,此时有f'(x)>0时有-a<x<-1/a
即单调增区间是(-a,-1/a)
同样有f'(x)<0时有x<-a,x>-1/a,即单调减区间是(-无穷,-a)和(-1/a,+oo)
当-1/a<-a时有a<-1,此时有f'(x)>0时有-1/a<x<-a,即单调增区间是(-1/a,-a)
有f'(x)<0时有x<-1/a,x>-a,即单调减区间是(-oo,-1/a),(-a,+oo)
当a=-1时,f'(x)=-(x-1)^2/(1+x^2)<=0,函数在R上单调减.
(3)
证明高中数学min和max函数导数题：
记g(x)=ln(x+1)-x,x>0
g'(x)=-x/(x+1)<0,g(x)↓
又g(x)可在x=0处连续则
g(x)<g(0)=0
即 ln(x+1)<x,x>0
取1/n^4（>0）替换x有
ln(1+1/n^4)<1/n^4<1/n^2<1/[n(n-1)]=1/(n-1)-1/n,n≥2
则 ln(1+1/2^4)+ln(1+1/3^4)+...+ln(1+1/n^4)<(1-1/2)+(1/2-1/3)+...+[1/(n-1)-1/n]=1-1/n<1
即 (1+1/2^4)*(1+1/3^4)*...*(1+1/n^4)<e (n∈N*,n≥2)