技巧：十种求初等函数值域的方法
【摘要】本文给出了观察法高中数学必修1-二次函数的值域、分离常数法、配方法、判别式法、基本不等式法、换元法、反函数法、函数单调性法、导数法等十种求函数值域的方法.
【关键词】初等函数；值域
函数的值域是函数的三要素之一, 掌握好求函数值域的方法, 对理解函数的概念意义重大, 而函数概念是贯穿于整个高中课程的, 因此, 掌握求函数值域的方法对整个高中数学课程而言, 具有至关重要的意义. 而整个高中课程所讨论的函数几乎全部是初等函数, 所以本文试图对常见的求初等函数值域的方法作一简要总结.
一 观察法
观察法是最简单的求函数值域的方法, 此法适用于那些形式比较简单的函数, 例如对于函数 , 显然其值域为 .
此法虽然简单, 而且对于形式稍显复杂的函数, 此法常难奏效, 但是此法却是求函数值域最基本的方法, 对于其他形式稍繁的函数, 也是通过施加变换, 最终化成形式简单的函数, 从而应用此法求得.
二 分离常数法
此法常适用于那些分式形式且分子与分母同为一次多项式的函数, 或能够化成上述形式的函数, 即形如 形式的函数. 解决的办法是通过添项或减项, 在分子中分解出与分母相同的式子, 约分后应用观察法即可得函数的值域.
例如对于函数 , 利用恒等变形, 得到:
,
容易观察得出此函数的值域为 .
三 配方法
对于二次函数, 可利用配方法求解其值域, 对于与二次函数复合而成的函数, 可尝试对二次函数进行配方, 进而利用与其复合的函数的性质求其值域.
例1 求函数 的值域.
解答: 此题可以看作是 和 两个函数复合而成的函数, 对 配方可得: , 得到函数 的最大值 , 再根据 得到 为增函数且 , 故函数 的值域为: .
四 判别式法
此法适用于二次分式形式的函数, 尤其适用于分母为二次多项式的函数, 解决的办法是先将函数化成方程, 即隐函数 的形式, 再利用一元二次方程的理论求解问题.
例2 求函数 的值域.
解答: 先将此函数化成隐函数的形式得:
, (1)
这是一个关于 的一元二次方程, 原函数有定义, 等价于此方程有解, 即方程(1)的判别式
,
解得: .
故原函数的值域为: .
五 基本不等式法
利用基本不等式 和 是求函数值域的常用技巧之一, 利用此法求函数的值域, 要合理地添项和拆项, 添项和拆项的原则是要使最终的乘积结果中不含自变量, 同时, 利用此法时应注意取 成立的条件.
例3 求函数 的值域.
解答: , 当且仅当 时 成立. 故函数的值域为 .
此法可以灵活运用, 对于分母为一次多项式的二次分式, 当然可以运用判别式法求得其值域, 但是若能变通地运用此法, 可以省去判别式法中介二次不等式的过程.
例4 求函数 的值域.
解答: 此题可以利用判别式法求解, 这里考虑运用基本不等式法求解此题, 此时关键是在分子中分解出 项来, 可以一般的运用待定系数法完成这一工作, 办法是设:
, (2)
将上面等式的左边展开, 有:
,
故而 , .
解得 , .
从而原函数 ;
ⅰ)当 时, , , 此时 , 等号成立, 当且仅当 .
ⅱ)当 时, , , 此时有
,
等号成立, 当且仅当 .
综上, 原函数的值域为: .
六 换元法
利用换元改变了原函数表达式的”面貌”, 使原来性质不明显的函数变得清晰, 从而易于求得原函数的值域. 运用换元法时应注意所引进的参数变量的取值范围.
例5 求函数 的值域.
分析: 若设 , 则 (其中 ). 原函数变为
.
由于 , 故 .
七 反函数法
对于存在反函数且易于求得其反函数的函数, 可以利用”原函数的定义域和值域分别为其反函数的值域和定义域”这一性质, 先求出其反函数, 进而通过求其反函数的定义域的方法求原函数的值域.
例 6 求函数 的值域.
解答: 对于此题来说,我们尝试用反函数方法求解此题.
先证明 有反函数, 为此, 设 且 ,
.
所以 为减函数, 存在反函数. 可以求得其反函数为: . 此函数的定义域为 , 故原函数的值域为 .
其实, 此题也可以用分离常数法来解, 这里就不再冗述了.
八 图像法
对于一些能够准确画出函数图像的函数来说, 可以先画出其函数图像, 然后利用函数图像求其值域.
例 7 求函数 的值域.
分析: 此题首先是如何去掉绝对值,将其做成一个分段函数.
在对应的区间内, 画出此函数的图像, 如图1所示, 易得出函数的值域为 .
九 利用函数的单调性
当函数 在 上单调, 譬如 在 上递增时, 自然有函数 在 上的值域为 (其中 ,当 时, 也称其存在,记为 ); 若 在 上递减, 函数 在 上的值域为 . 在闭区间 上也有相应的结论.
例 8 求函数 的值域.
分析: 此题可以看作 和 , 的复合函数, 显然函数 为单调递增函数, 易验证 亦是单调递增函数, 故函数 也是单调递增函数. 而此函数的定义域为 .
当 时, 取得最小值 .当 时, 取得最大值 .
故而原函数的值域为 .
十 利用导数求函数的值域
若函数 在 内可导, 可以利用导数求得 在 内的极值, 然后再计算 在 , 点的极限值. 从而求得 的值域.
例 9 求函数 在 内的值域.
分析:显然 在 可导，且 . 由 得 的极值点为 .
. .
所以, 函数 的值域为 .