一、函数的概念和表示
函数的概念是高中数学中十分重要的概念之一，加深对函数的理解，对学好函数后续知识十分有帮助。对于函数的表示方法，也要掌握好，因为学习函数知识经常用到函数的表示方法。对于分段函数解析式的求法是难点，常用解法是先求出定义域在不同子区间上的解析表达式，然后进行合并。
例1 已知 ，求f(x)。
解高中数学13种函数图像总结视频：因为 ，所以 ，即
点评：通过观察、分析，将右端“ ”变为“ ”的表达式，这种解法对变形能力有一定的要求。解题中易忽视 的定义域应为 中“ ”的值域。
二、函数的单调性
函数的单调性是函数的重要性质之一，它对了解函数的其他各种信息十分有用。同时，利用函数的单调性解题也是一种重要的方法。
例2 已知函数 （a为正数），且函数f(x)与g(x)的图象交y轴于同一点。
（1）求a的值。
（2）求函数 的单调递增区间。
解：（1）由题意知， ，则 ，所以a＝1。
（2）
当 时， ，它在区间 上单调递增；
当 时， ，它在区间 上单调递增。
∴函数 的单调递增区间为 。
点评：如果一个函数的解析式含有绝对值符号，则这个函数可化为分段函数。其常用解法是把各分段上的函数看做独立函数，分别求出它们的单调区间，然后再整合到一起，但要注意分段函数的单调区间一定要在其定义域内。
三、二次函数的图象和性质
二次函数是高中数学中最常见、最重要的函数之一，对二次函数图象上下左右平移，二次函数的定义域、值域、单调性和最大（小）值问题，要熟练掌握。
例3 已知函数
（1）当 时，求函数f(x)的最值。
（2）求实数a的取值范围，使 在区间〔－5，5〕上是单调函数。
解：（1） ，因为 ，所以当x＝1时， x＝－5时，
（2） ，函数f(x)的对称轴为 ，要使f(x)在区间〔－5，5〕上是单调函数，所以 ，故a的取值范围为
点评：借助二次函数图象的直观性来判断函数的最值时，需要确定二次函数的开口方向及对称轴是否落在区间内。
四、函数知识在解应用题中的作用
解函数应用题一般分为如下四个步骤：
①审题：弄清题意，分析条件和结论，理顺数量关系；
②建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；
③求解：求解数学模型，得出数学结论；
④还原：将得出的结论，还原为实际问题的意义，即作答。
一、给出函数 解析式求其定义域，一般是先列出限制条件的不等式（组），再进行求解。
例1. 求下列函数的定义域：
（1） ；（2） 。
解：（1）要使函数有意义，x需满足 ，解得 。
此函数的定义域为 。
（2）要使函数有意义，x需满足 ，即有 ，解得 ，或 。
此函数的定义域是 。
二. 给出函数 的定义域，求函数 的定义域，其解法步骤是：若已知函数 的定义域为 ，则其复合函数 的定义域应由不等式 解得。
例2. 设函数 的定义域为 ，给出下列函数： ， ，其定义域仍是A的有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
解：由 ，得 。由 。
由 ，得 。由 ，得 。故选B。
例3. 已知函数 的定义域为（0，1），则函数 的定义域是________。
解：函数 的定义域为（0，1），即 。
。
函数 的定义域为（2，4）。
三. 给出 的定义域，求 的定义域，其解法步骤是：若已知 的定义域为 ，则 的定义域是 在 时的取值范围。
例4. 已知函数 的定义域为（0，1），则函数 的定义域是________。
解：函数 的定义域为（0，1），即在 。
令 ，于是 中， 。
函数 的定义域为（4，6）。
例5. 函数 的定义域为 ，则函数 的定义域是（ ）
A. B. C. D.
解：函数 的定义域为 ，即 。
，即函数 的定义域是 。
由 ，得 。
函数 的定义域为 ，应选A。
说明：本题还多了一个层次，即由函数 的定义域求出原函数 的定义域，然后求出函数 的定义域。
求函数值域是高考的热点，同时也是大家学习中的一个难点，在求函数值域时本人总结以下八种方法，供大家参考。
方法一：观察法
例1. 求函数 的值域。
解析：由 。
故此函数值域为 。
评注：此方法适用于解答选择题和填空题。
方法二：不等式法
例2. 求函数 的值域。
解析： ，
此函数值域为 。
评注：此方法在解答综合题时可屡建奇功！
方法三：反函数法
例3. 求函数 的值域。
解析：由 得 。
由 ，得 ，解得 。
此函数值域为 。
评注：此方法适用范围比较狭窄，最适用于x为一次的情形。
方法四：分离常数法
例4. 求函数 的值域。
解析：：
。
从而易知此函数值域为 。
评注：此题先分离常数，再利用不等式法求解。注意形如 的值域为 。
方法五：判别式法
例5. 求函数 的值域。
解析：原式整理可得 。
当 即 时， 原式成立。
当 即 时， ，解得 。
综上可得原函数值域为 。
评注：此方法适用于x为二次的情形，但应注意 时的情况。
方法六：图象法
例6. 求函数 的值域。
解析：作出此函数的图象，如下图所示。可知此函数值域为 。
评注：此方法最适用于选择题和填空题，画出函数的草图，问题会变得直观明了。
方法七：中间变量法
例7. 求函数 的值域。
解析：由上式易得 。
由 。
故此函数值域为 。
评注：此方法适用范围极其狭窄，需要灵活掌握。
方法八：配方法
例8. 求函数 的值域。
解析：因为 ，故此函数值域为 。
评注：此方法需要灵活掌握，常常可以达到意想不到的效果。
函数是高中数学中的重要内容，反函数又是函数的重要组成部分，也是同学们学习函数的难点之一。反函数在历年高考中也占有一定的比例。为了帮助同学们更好地掌握反函数相关的内容，对反函数的性质作如下归纳。
性质1 原函数的定义域、值域分别是反函数的值域、定义域
在求原函数的反函数及反函数的定义域、值域的有关问题时，如能充分利用这条性质，将对解题有很大帮助。
例1. 函数 的反函数是（ ）。
A. B.
C. D.
解析：这是一个分段函数，对分段函数求反函数要注意分段求解。由函数解析式可知当 时， ； 时 。由性质1，可知原函数的反函数在 时， ，则根式前面要有负号，故可排除A、B两项，再比较C、D，易得答案为C。
例2. 若函数 为函数 的反函数，则 的值域为__________。
解析：常规方法是先求出 的反函数 ，再求得 的值域为 。如利用性质1， 的值域即 的定义域，可得 的值域为 。
性质2 若 是函数 的反函数，则有 。
从整个函数图象来考虑，是指 与其反函数 的图象关于直线 对称；从图象上的点来说，是指若原函数过点 ，则其反函数必过点 。反函数中的这条性质，别看貌不惊人，在解题中却有着广泛的应用。
例3. 函数 的反函数 的图象与 轴交于点P（0，2），如下图所示，则方程 在[1，4]上的根是 （ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
解析：利用互为反函数的图象关于直线 对称， 的图象与 轴交于点P（0，2），可得原函数 的图象与 轴交于点（2，0），即 ，所以 的根为 ，应选C。
例4. 设函数 的图象关于点（1，2）对称，且存在反函数 ， =0，则 =_________。
解析：由 =0，可知函数 的图象过点（4，0），而点（4，0）关于点（1，2）的对称点为（ ，4）。由题意知点（ ，4）也在函数 的图象上，即有 ，根据性质2，可得 。
性质3 单调函数一定存在反函数，且反函数与原函数的单调性一致。
在定义域上的单调函数一定存在反函数，但在定义域上非单调函数未必没有反函数，或者说有反函数的原函数不一定是单调函数。如函数 有反函数，但其在定义域上不是单调函数。
例5 函数 = 在区间 上存在反函数的充要条件是（ ）
A. B.
C. D.
解析：因为二次函数 不是定义域内的单调函数，但在其定义域的子区间 或 上是单调函数，而已知函数 在区间 上存在反函数，所以 或者 ，即 或 ，应选C。
例6. 已知 是定义在R上的单调递增函数，且有 ，试证明 。
证明：（反证法）假设存在 ，使得 。
∵ 是定义在R上的单调递增函数，
∴由性质3知， 也是R上的单调递增函数。
若 ，则 ，即 ，矛盾。同理，当 时，也可推出矛盾，故假设不成立，则 。
性质4 若 是 的反函数，则 的反函数为 ， 的反函数为 。
证明：假设 的反函数为 ，若 ，则 ，即 ，得 。
也就是说原函数向左平移a个单位，则反函数向下平移a个单位，其他情况可同理证明。
例7. 设 ，函数 的图象与 的图象关于直线 对称，求 的值。
解析：∵函数 的图象与 的图象关于直线 对称。
∴ 与 互为反函数。
根据性质4， 的反函数为 。
∴ ，得 。
例8. 设定义域为R的函数 、 都有反函数，并且函数 和 的图象关于直线 对称，若 ，求 的值。
解析：由已知条件可知 与 互为反函数，根据性质4， 的反函数为 ，可得 。