函数y=f(x)是奇函数或偶函数,与该函数的单调性没有必然的联系
记住这么两个关键:
(1)函数的定义域A一定是关于原点的对称区间或对称的孤立点集合,用来保证,对定义域A内的每一个x,-x也在定义域A内
(2)对任意的x∈A,推导出f(-x)=f(x),它就是偶函数;推导出f(-x)=-f(x),它就是奇函数
------让人糊涂的是推导二字,而不是题目里还有增减性的说法
例如,我看见有同学问
f(x)=1/(a^x-1)+1/2(a是不等于1的正数)的奇偶性
-----
把解析式化为:f(x)=(a^x+1)/[2(a^x-1)]
定义域是(-∞,0)∪(0,+∞)
f(-x)=[a^(-x)+1]/{2[a^(-x)-1]}=(1/a^x+1)/[2(1/a^x-1)]=[(a^x+1)/a^x]/[2(1-a^x)/a^x]
=(a^x+1)/[2(1-a^x)]=-f(x)
函数是奇函数
至于题目里的单调性,主要用于比较函数值的大小或解不等式,对函数的奇偶性没有实质性的影响,反而是函数的奇偶性,严重的影响着函数的单调性
因为奇函数的图象,关于原点对称,偶函数的图象,关于y轴对称,就限制函数的单调变化
-----------例如,函数y=f(x)实数集R上的奇函数,2是它的周期,且当x∈(0,1]时,f(x)=x^2,比较f(-5),f(-4/3),f(14/3)的大小
------------
检举 回答人的补充 01:08
求函数的单调区间:y=-x^2+2│x│+3的单调区间
偶函数....容易看出
当x>0时,y=-x^2+2x+3
在[0,1]上单增,在[1,+∞)上单减
由对称性,在[-1,0]上单减,在(-∞,-1]上单增
检举 回答人的补充 01:27
简明点说,判断奇偶性,直接推导不清楚的话,可以试着看
f(x)+f(-x)=0?
f(x)-f(-x)=0?
f(x)/f(-x)=1?
f(x)/f(-x)=-1?