a,b,c高中数学抽象函数不等式解题技巧，a1,a2,...,an>0
(a+b)/2≥√ab
a^2+b^2≥2ab
(a+b+c)/3≥(abc)^(1/3)
a^3+b^3+c^3≥3abc
(a1+a2+…+an)/n≥(a1a2…an)^(1/n)
2/(1/a+1/b)≤√ab≤(a+b)/2≤√[(a^2+b^2)/2]
n/(1/a1+1/a2+…+1/an)≤(a1a2…an)^(1/n)≤(a1+a2+…+an)≤√[(a1^2+a2^2+…an^2)/n]
|x1|-|x2|≤|x1+x2|≤|x1|+|x2|
|x1|-|x2|-…-|xn|≤|x1+x2+…xn|≤|x1|+|x2|+…+|xn|
不等式主要（常见）题型及解法，不要求具体，抓住关键要点就行。
1、 命题趋势及典型例题解释
（1）不等式的性质考查会与函数性质相结合起来，一般多以选择题出现，填空题出现，也有可能与充要条件、逻辑知识结合起来．
例1：设命题甲：x和y满足 ，命题乙：x和y满足 ，那么 甲是乙的（）
A 充分但不必要条件 B 必要但不充分条件C 充要条件 D 既不充分也不必要条件
［思路］
根据同向不等式的可加性，从乙 甲和甲 乙两个方面进行推导，再结合充要条件相关概念进行分析。
［］易知 即乙 甲；但当 时，显然满足 不满足 故甲 乙 不成立。从而甲是乙的必要但不充分条件 。故选B
［收获］
本题将不等式的可加性与充要条件的相关概念进行了有机结合。做题时不要将充分不必要条件与必要不充分条件混淆起来。
例2：已知 .设
函数 在R上单调递减.
不等式 的解集为R.
如果 和 有且仅有一个正确，求 的取值范围.
［思路］
此题虽是一道在老教材之下的高考试题，但揭示了“解不等式”一类高考试题的命题方向.在新教材中，绝对值不等式的解法和二次不等式的解法与集合运算、命题判断都有一定联系，属于对于学生提出的基本要求内容的范畴，本题将这几部分知识内容有机地结合在一起，在考查学生基础知识、基本方法掌握的同时，考查了学生命题转换，分类讨论等能力，在不同的方法下有不同的运算量，较好地体现出了“多考一点想，少考一点算”的命题原则.
［］:函数 在R上单调递减 ，不等式 的解集为R 函数 在R上恒大于1，∵ ∴函数 在R上的最小值为 ，∴不等式 的解集为R ，即 ，若 正确，且 不正确，则 ；若 正确，且 不正确，则 ；
所以 的取值范围为 .
［收获］
“解不等式”一类的命题可以有形式上的更新和内容上的变化.结合简易逻辑的概念和集合的语言来命题，借助集合的运算性质和四个命题的关系来作答，是这个命题的基本特征，在求解时则主要以化归思想为切入点.复习中对于此类问题要引起足够的重视.
（2）解不等式的题常以填空题和解答题的形式出现，此类题主要以一元二次不等式，分式不等式，含绝对值不等式为主，在解答题中含字母参数的不等式较多，需要对字母进行分类讨论．
例3：解关于 的不等式 。
分析 本例涉及了两个讨论点：二次项系数和判别式的符号．
解
(1)当 时：若 ，则 ，不等式解集为 ；若 ，则 ，解集为 .
(2)当 时：不等式为 ，解集为 ．
(3)当 时：若 ，则 ，解集为 .
若 ，不等式为 ，解集为 且 .
若 ，则 ，解集为 ．
点拨 由于分类的原因有两个，为了避免逻辑混乱，本例采取了“二级分类”方法：第一级以二次项系数的符号作为划分的依据；第二级依判别式的符号进行划分．
例4：若不等式| －4|+|3－ |< 的解集为空集，求 的取值范围。
［思路］
此不等式左边含有两个绝对值符号，可考虑采用零点分段法，即令每一项都等于0，得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集，这是按常规去掉绝对值符号的方法求解，运算量较大。若仔细观察不等式左边的结构，利用绝对值的几何意义用数形结合方法或联想到绝对值不等式| + |≤| |+| |，便把问题简化。
［］
解法一 (1)当 ≤0时，不等式的解集是空集。
(2)当 >0时，先求不等式| －4|+|3－ |< 有解时 的取值范围。
令 －4=0得 =4，令3－ =0得 =3
① 当 ≥4时，原不等式化为 －4+ －3< ，即2 －7<
解不等式组 ，∴ >1
② 当3< <4时，原不等式化为4－ + －3< 得 >1
③ 当 ≤3时，原不等式化为4－ +3－ < 即7－2 <
解不等式 ，∴ >1
综合①②③可知，当 >1时，原不等式有解，从而当0< ≤1时，原不等式解集为空集。
由(1)(2)知所求 取值范围是 ≤1
解法二：由| －4|+|3－ |的最小值为1得当 >1时，| －4|+|3－ |< 有解
从而当 ≤1时，原不等式解集为空集。
解法三： ∵ >| －4|+|3－ |≥| －4+3－ |=1∴当 >1时，| －4|+|3－ |< 有解从而当 ≤1时，原不等式解集为空集。
［收获］
1）一题有多法，时需学会寻找最优解法。
2） 有解 ； 解集为空集 ；这两者互补。 恒成立 。 有解 ； 解集为空集 ；这两者互补。 恒成立 。 有解 ； 解集为空集 ；这两者互补。 恒成立 。 有解 ； 解集为空集 ；这两者互补。 恒成立 。
（3）证明不等式一般同函数知识相结合，综合性较强，灵活性较大，具有较好的区分度．
例5：若二次函数 的图象经过原点，且 ， ，求 的范围．
［思路］要求 的取值范围，只需找到含 的不等式(组)．由于 是二次函数，所以应先将 的表达形式写出来．即可求得 的表达式，然后依题设条件列出含有 的不等式(组)，即可求解．
［］因为 的图象经过原点，所以可设 ．于是
解法一(利用基本不等式的性质)不等式组(1)变形得 其中等号分别在 与 时成立，且 与 也满足（1）所以 的取值范围是 ．
解法二(数形结合)建立直角坐标系 ，作出不等式组(1)所表示的区域，如图中的阴影部分．因为 ，所以 表示斜率为2的直线系．如图6，当直线 过点 ， 时，分别取得 的最小值6，最大值10．即 的取值范围是： ．
解法三(利用方程的思想)因为 所以 又 ，而
， ， ①
所以 ． ②
①+②得 即 。
［收获］
1)在解不等式时，要求作同解变形．要避免出现以下一种错解：将不等式组（1）变形得 ，而 ， 所以
2)对这类问题的求解关键一步是，找到 的数学结构，然后依其数学结构特征，揭示其代数的、几何的本质，利用不等式的基本性质、数形结合、方程等数学思想方法，从不同角度去解决同一问题．若长期这样思考问题，数学的素养一定会迅速提高．
3）本题灵活地考查了同向不等式的可加性，但要注意 的数学结构。