高考中的抽象函数问题及其解法
由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号
(
)
f
x
的问题感到困难，学好这部分知识，能加
深学生对函数概念的理解，更好地掌握函数的性质，培养灵活性；提高解题能力，优化学生数学思维
素质。现将常见解法及意义总结如下：
一高中数学必修一抽象函数求值题、解析式问题：
1.
换元法：
即用中间变量
表示原自变量
x
的代数式，从而求出
(
)
f
x
，这也是证某些公式或等
式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。
例
1
：已知
(
)
2
1
1
x
f
x
x
,
求
(
)
f
x
.
解：设
1
x
u
x
,
则
1
u
x
u
∴
2
(
)
2
1
1
1
u
u
f
u
u
u
∴
2
(
)
1
x
f
x
x
2.
凑配法：
在已知
(
(
))
(
)
f
g
x
h
x
的条件下，把
(
)
h
x
并凑成以
(
)
g
u
表示的代数式，再利用代换
即可求
(
)
f
x
.
此解法简洁，还能进一步复习代换法。
例
2
：已知
3
3
1
1
(
)
f
x
x
x
x
，求
(
)
f
x
解：∵
2
2
2
1
1
1
1
1
(
)
(
)(
1
)
(
)((
)
3)
f
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
又∵
1
1
|
|
|
|
1
|
|
x
x
x
x
∴
2
3
(
)
(
3)
3
f
x
x
x
x
x
，
(|
x
|
≥
1)
3.
待定系数法：
先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。
例
3
．
已知
(
)
f
x
二次实函数，且
2
(
1)
(
1)
f
x
f
x
x
+2
x
+4,
求
(
)
f
x
.
解
:
设
(
)
f
x
=
2
ax
bx
c
，则
2
2
(
1)
(
1)
(
1)
(
1)
(
1)
(
1)
f
x
f
x
a
x
b
x
c
a
x
b
x
c
=
2
2
2
2
2(
)
2
4
ax
bx
a
c
x
x
比较系数得
2(
)
4
1
3
2
1
,
1,
2
2
2
2
a
c
a
a
b
c
b
∴
2
1
3
(
)
2
2