即函数值能等于0,反映到图象上,就是函数与x轴有交点,有几个交点即有几个零点高中数学必修一函数零点图像法。
对于f(x)=0,就有几个解。
对于在[x1,x2]上的连续函数f(x),若f(x1)与f(x2)异号,则f(x)的的零点(f(x)=0的解)在(x1,x2)上。
关于高一(必修1)数学问题
函数表示方法—图象法:
①.y=|x-1|-|x-2|,过程并附图像
解析:(1)先求零点值(方程的根):
由y=|x-1|-|x-2|=0
得x=1,或x=2
∴零点值(方程的根)为:x=1,或x=2
(2)再分区间讨论:
∵y=|x-1|-|x-2|,
当x<1时,y=-(x-1)-[-(x-2)]=-x+1+x-2=-1;
当1≤x≤2时,y=(x-1)-[-(x-2)]=x-1+x-2=2x-3;
当x>2时,y=(x-1)-(x-2=x-1-x+2=1.
分别作出不同区间相应的不同函数的图像,组合而成
如图
②.已知:f(1-x/1+x)=(1-x²)/(1+x²),求:f(x)的解析式
用换元法思路很直接
“换元”应该要考察定义域,
f(1-x/1+x)=(1-x²)/(1+x²)的定义域:x∈R.
解:令t=(1-x)/(1+x)
(1+x)t=1-x
tx+x=1-t
x=(1-t)/(1+t)
f(t)=(1-x²)/(1+x²)
=[1-(1-t)²/(1+t)²]/[1+(1-t)²/(1+t)²]
=[(1+t)²-(1-t)²]/[(1+t)²+(1-t)²]
=[(1+2t+t²)-(1-2t+t²)]/[(1+2t+t²)+(1-2t+t²)]
=(4t)/(2+2t²)
=2t/(1+t²)
将t换回x,即得
f(x)=2x/(1+x²)
定义域仍为:x∈R.
∴f(x)的解析式 为:f(x)=2x/(1+x²).
③.已知f﹙x﹚是一次函数,且f[f﹙x﹚]=4x-1,,求f﹙x﹚的解析式
解:设f(x)=kx+b
则f[f(x)]=k(kx+b)+b
=k²x+(kb+b)
=k²x+b(k+1)=4x-1
所以k²=4
b(k+1)=-1
k=±2,代入b(k+1)=-1求出b=1,或b=-1/3.
∴f﹙x﹚的解析式为:
f(x)=-2x+1,或f(x)=2x-1/3.
④作出分段函数y=|x-1|+|x+2|, 过程并附图像
解析:(1)先求零点值(方程的根):
由y=|x-1|+|x+2|=0
得x=-2,或x=1
∴零点值(方程的根)为:x=-2,或x=1
(2)再分区间讨论:
∵y=|x-1|+|x+2|,
当x<-2时,y=-(x-1)+[-(x+2)]=-x+1-x-2=-2x-1;
当-2≤x≤1时,y=-(x-1)+(x+2)=-x+1+x+2=3;
当x>1时,y=(x-1)+(x+2)=2x+1.
分别作出不同区间相应的不同函数的图像,组合而成。
如下图
⑤.作出函数y=|x²-2x-3|的函数图象
解析:∵y=|x²-2x-3|=|(x+1)(x-3)|
零点值为:x=-1,或x=3.
当x<-1时,y=x²-2x-3
当-1≤x≤3时,y=-(x²-2x-3)=-x²+2x+3
当x>3时,y=x²-2x-3。
分别作出不同区间相应的不同函数的图像,组合而成。
也可先做出
y=x²-2x-3的图象
然后把y<0的部分翻折到x轴之上就可以了。
如图