函数是中学数学教学的主要内容之一高中数学抽象函数问题解决方法，也是历年高考的重点考查知识，然而考查的的主要对向之一是函数中抽象函数问题，而抽象函数是在没有具体函数解析式下，求解有关函数知识的问题，且综合了函数的其它性质一起来考察，这给解题带来了很高的要求.其实抽象函数都具有一些背景函数，即是从我们学习过的基本函数中抽象出来的.，经过多方面的收集和整理得到，抽象函数大致可划分为以下的五种类型，为此本文将给出解答抽象函数问题的一些具体的方法，供大家参考: 1、正比列函数型 设y=f(x)为定义在R上的函数，如果满足f(x+y)=f(x)+f(y)，则具有性质 (1)f(0)=0；(2)y=f(x)是R上的奇函数；(3)若x≠0，f(x)≠0时，则y=f(x)是R上的单调函数 例1：已知函数f(x)对任意的实数x，y，均有f(x+y)=f(x)+f(y)，且当x>0时，f(x)>0，f(-1)=2求f(x)在区间[-2,1]上的值域 分析：由题设可知，其模型函数为正比例函数型，因此求函数f(x)的值域关键在于求出其单调性。 解：令x=y=0，则f(0)=0； 令y=-x，则有f(x)+f(-x)=f(0) ∴f(x)=-f(-x) ∴f(x)是奇函数 设-2≤x10，∵当x>0时f(x)>0 即f(x2)+f(x1)=f(x2)-f(x1)>0 ∴f(x2)>f(x1) ∴f(x)是[-2，1]的增函数 f(-2)=f(-1)+f(-1)=-4 f(1)=-f(-1)=2 ∴函数f(x)在区间[-2，1]的值域是[-4，2] 点评：在求解此题时，已经证明了性质(1)，性质(2)，还告诉了性质(3)的证明方法，若在选择或填空题中遇到时，可直接应用。 3、指数函数型 设f(x)是定义在R上的不恒为0函数，满足f(x+y)=f(x)f(y)，且当x>0时，恒有f(x)>1(或恒有f(x)<1)，则具有性质： (1)f(x)>0且f(0)=1(2) (3)f(x)是单调函数 例2：设f(x)是R上的函数，满足条件：存在x1≠x2使得f(x1)≠f(x2)；对任意的x和y有f(x+y)=f(x)f(y)成立，求(1)f(0)的值 (2)对任意的x∈R，判断函数f(x)的值的符号。 分析：由条件可知函数f(x)是由指数函数y=ax抽象而来的，于是问题就可参照指数函数的性质来求解： 解：(1)令y=0则f(x)=f(x)f(0) f(x)[1-f(0)]=0 f(x)=0或f(0)=1 若f(x)=0则对任意的x1≠x2有f(x1)=f(x2)=0与题意不符 ∴f(0)=1 (2)令x=y≠0f(x+y)=f(2x)=f(x)f(x)=[f(x)]2≥0 由(1)知f(x)≠0∴f(2x)>0 即f(x)>0对任意的x∈R恒成立 例3：设函数f(x)是定义在R上的偶函数，并满足①函数f(x)的图象关于直线x=1对称②对任意的x1，x2∈[0，1]都有f(x1+x2)=f(x1)f(x2)③f(1)=a>0，且a≠1 求：(1) 的值 (2)求证，当a>1时，f(x)在[0，1]上是增函数 (3)若数列{an}满足 ，n∈N*，求 分析：由条件②和条件③知函数f(x)背景函数为指数函数，于是问题就好入手了。 解：(1) 又∵当x∈[0，1]时有 ∴ ∴当x∈[0，1]，函数f(x)是增函数 (3)由函数f(x)是偶函数 由函数f(x)的图象关于直线x=1对称知：f(1+x)=f(1-x)，于是有f(2+x)=f[1+(1+x)]=f[1-(1+x)]=f(-x)=f(x) ∴函数f(x)是以2为周期的周期函数 3、对数函数型 设函数f(x)是定义在(0，+∞)上的函数，满足f(xy)=f(x)+f(y)，且当x>1时，恒有f(x)>0(或恒有f(x)<0)，则具有性质： (1)f(1)=0 (2) (3)f(x)是单调函数 例4：设函数f(x)是定义在(0,+∞)上的单调递增函数，满足f(xy)=f(x)+f(y)，f(3)=1，求：(1)f(1)的值(2)若f(x)+f(x-8)≤2，求出x的取值范围。 分析：由题设可知，其模型函数为对数函数，因此求解该问题时可以参照对数函数型的性质来解答。 解：(1)∵f(3)=f(1×3)=f(1)+f(3)=1，∴f(1)=0 (2)由f(3)=1得：2=f(3)+f(3)=f(3×3)=f(9) 即f(x)+f(x-8)=f[x(x-8)]≤f(9) 又∵f(x)是定义在(0,+∞)上的单调递增函数，则 解之得：81时，恒有f(x)>1(或恒有f(x)<1)，则具有性质： (1)f(1)=1 (2)当x>0时,f(x)>0 (3)f(x)是单调函数 例5：已知函数f(x)是定义在(0,+∞)上的函数，对任意x，y∈R+都有f(xy)=f(x)f(y)且f(-1)=1，f(27)=9，当x∈(0,1)时，f(x)∈(0,1)求： (1)函数f(x)的奇偶性 (2)判断函数f(x)在(0，+∞)上的单调性，并给出证明 (3)若a≥0，且 ，求a的取值范围。 分析：由题设可猜想，函数f(x)是以幂函数 为背景的，这样问题就容易解答了。 解：(1)令y=-1，则f(-x)=f(x)f(-1) ∵f(-1)=1 ∴f(x)=f(-x)，即函数f(x)是偶函数 (2)函数f(x)是增函数，证明如下： 设0≤9>≤1，则x1-x2>