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高中数学5.7三角函数的应用,高中三角函数应用题

2024-04-29 09:53:08数学111

解(1)在Rt△PAB中高中数学5.7三角函数的应用,∠APB=60° PA=1,∴AB=√ 3(千米)

在Rt△PAC中,∠APC=30°,∴AC=√ 3/3(千米)


在△ACB中,∠CAB=30°+60°=90°



则BC=√ (AB)^2+(AC)^2=√ (√ 3/3)^2+(√ 3)^2=√ 30/3


(√ 30/3)/(1/6)=2√ 30(千米/时)


(2)∠DAC=90°-60°=30°


sinDCA=sin(180°-∠ACB)=sinACB=AB/BC=√ 3/√ 30/3=3√ 10/10


sinCDA=sin(∠ACB-30°)=sinACB·cos30°-cosACB·sin30°=(3√ 3-1)√ 10/20



在△ACD中,据正弦定理得,AD/sinDCA=AC/sinCDA


∴AD=ACsinCDA/sinDCA=(9+√ 3)/13


答:此时船距岛A为(9+√ 3)/13千米.

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三角函数在实际中的应用
浙江省诸暨市学勉中学(311811)郭天平
三角函数实际应用常涉及生活、生产、天文、地理、军事等诸多方面的实际问题,以平面图形为数学背景,通过设角建立三角式、进行三角变换转化为三角函数问题来解决.本文列举几个具体例子,供同学们参考.
1.实际测量中应用
例1.某人身高1.8米,在黄浦江边测得对岸东方明珠塔尖的仰角 ,测得东方明珠塔在黄浦江中倒影的塔尖的俯角 ,如图1,求东方明珠塔的高
分析:根据实物与倒影的对称性,通过两直角三角形中的边角关系求塔高
解:设黄浦江宽为 米,得 , 两式相除得,
,即 ,因 , ,代入得,
(米),即东方明珠塔的高为490米。
【点评】这是一个三角函数在实际测量方面的应用题,在解决过程中运用了几何知识和方程思想,其中三角函数式的化简在解题中起了关键作用。
2.生产建造成本中的应用
例2.如图2,一条宽为1km的河两岸各有一座城市A和B,A与B的直线距离是4km,现要铺设一条电缆线连接A与B两座城市,已知地下电缆的修建费是2万元/km,水下电缆的修建费为4万元/km,假定河两岸是平行的直线(没有弯曲),问如何铺设电缆方可使总施工费用达到最省?
分析:如图所示,设 ,建立从A到B铺设电缆的总费用的函数关系,再求函数最值。
解:如图2,电缆以 的路线(D在线段CB上)
设 ,
故铺设电缆的总费用为

即 (其中锐角 满足 )
令 ,则 ,即 (其中 )
显然 ,故当 ,即 时, 取最小值4,即
, ,当 时,解得 ,此时 取最小值 ,可得 (km),即水下电缆应从距B城 的D处向A城铺设。
【点评】认真审题,建立目标函数,适当设角,得到三角函数关系式,是解三角函数实际问题的关键;本题对实际意义的理解,结合图形分析,利用变换 转化求最值,从而得到最合理的铺设方案。

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