最直观的是从图形上看，因为二次函数的图形是抛物线，向上开口的抛物线总有一个最低点，向下开口的抛物线总有一个最高点，所以值域不是R。
也可以从解析式上看，把二次函数的解析式配方，可以得到通式a(x-b)2+c，（那个2是上标，即平方的意思，因为打不出来，只有这样）因为一个数的平方总是大于等于0，所以：若a大于0，它的最小值是c高中数学必修1-二次函数的值域；若a小于0，它的最大值是c。
值域肯定是属于实数集的，但是说值域为R，就表示函数值可以取遍所有实数，显然不是这样。
值域为R就是表示y能取遍所有实数，一次函数的图形是直线，直线的两端可以无限延长，所以能取遍所有实数，值域为R。
高中数学值域问题
用定义域法求值域是一种比较迅速的解题方法。我们在面临求值域的问题的时候，一般都考虑从定义域出发，研究定义域范围，从而通过题目的函数解析式关系，由定义域范围解出值域范围。
相信通过一定的题目练习，你一定可以很快的做好这样的题目。
高中数学（值域）
因为y=ax²+bx+c
=a(x²+b/a*x)+c
=a[x²+b/a*x+(b/2a)²-(b/2a)²]+c
=a[x+(b/2a)]²-b²/4a+c
=a[x+(b/2a)]²-b²/4a+4ac/4a
=a[x+(b/2a)]²+(4ac-b²)/4a
当a>0,开口向上，有最小值 当x=-b/2a 时 ymin=(4ac-b²)/4a
所以值域是[(4ac-b²)/4a,+∞)
a<0,开口向下，有最大值 当x=-b/2a 时 ymax=(4ac-b²)/4a
所以值域是(-∞,(4ac-b²)/4a]