sina+sinb+sinc=2sin(a+b)/2*cos(a-b)/2+sinc<=2sin(a+b)/2+sinc=2sin(Pi/4-c/2)+sinc=sqrt2*(cosc/2-sinc/2)+sinc=sqrt2*t+1-t^2=-(t-sqrt2/2)^2+3/2<=3/2,其中t=cosc/2-sinc/2,最大值为3/2,当cosc/2-sinc/2=sqrt2/2,且a=b时,取等号,也就是a=b=c=Pi/6时取到.
浅析数学三角函数最值问题及求解方法
最值问题是高中数学的重点和历年高考的热点,它涉及中学数学的各个分支,在一些特定的领域中应用还十分广泛,分清问题
的类型对于最值问题的解决十分有益高中数学必修一三角函数求最值。本文就三角函数中的最值问题略作介绍。
三角函数是一种函数,因此初等函数中的最值问题的求法对三角函数也适用,但三角函数既然是一种特殊的函数,其最值问题的求法当然也有其独特的地方。
一、配方法
例1.(1997年全国)函数y=cos2x-3cosx+2的最小值为()
A.2 B.0C.-■D.6
略解:由y=cos2x-3cosx+2=(cosx-■)2-■,cosx∈[-1,1]
利用三角函数的有界性及二次函数在闭区间上求值域可得:0≤y≤6。
答案:B
点评:配方法作为初等函数中极为重要的方法在三角函数中应用仍然十分广泛,但本例运用配方法意在确定对称轴的位置。若将本例变为:函数y=sin2x-cosx+2的最小值为,则需异名化同名(余弦),再由配方法得出答案为1。
二、“合一变形”及有界性法
例2.(2000年春季北京、安徽文)y=sinx+cosx+2的最小值是()
A.2-■ B.2+■
C.0 D.1
略解:根据两角和与差的三角公式作逆运算得,y=■sin(x+■)+2,再利用三角函数的有界性知:y∈[2-■,2+■]。
答案:A
点评:“合一变形”法就是逆用“两角和与差的正余弦公式”对同角异名弦之和与弦之差作“二合一变形”。
变题:函数y=■的值域为
略解:由y=■得,sinθ=■
而sinθ∈[-1,1],故函数的值域为:
[-2,0]
三、“和积不等式”与“勾子函数”法
例3.函数y=sinα+■,α∈(0,π)的最小值为()
A.2■ B.-2■
C.6 D.-6
略解:由α∈(0,π),则sinα∈(0,1)
由“勾子函数y=x+■>0”性质可求y≥6。
答案:C
变题:函数y=5sinα+■,α∈(0,π)的最小值为()
A.2■ B.-2■
C.6 D.-6
略解:由α∈(0,π),则sinα∈(0,1)
由和积不等式知:5sinα+■≥2■,当且仅当sinα=■时取等号
答案:A
点评:“勾子函数”法的本质是函数的单调性,对于勾子函数y=x+■,a>0,当x∈(0,■]时函数单调减,当x∈(■,+∞]函数单调增。而“和积不等式”强调“一正、二定、三等”限制条件。
四、数形结合与换元法
例4.函数y=■的值域为
答案:(-∞,0]
例5.函数y=sinx+cosx+2sinxcosx的值域为
答案:[-■,1+■]
点评:例4可看作是圆:x2+y2=1上点(cosθ,sinθ)与点(-2,1)连线的斜率的取值范围。
例5则可将sinx+cosx整体换元为t∈[-■,■],并将sinxcosx化为t的代数式,进而将原问题化为二次函数在闭区间上求值域。
五、三角函数最值问题的简单应用
例6.(2000年全国,理)已知函数y=■cos2x+■sinxcosx+1,x∈R
当函数y取得最大值时,求自变量x的集合;
解:y=■cos2x+■sinxcosx+1,x∈R
=■cos2x+■sin2x+■
=■sin(2x+■)+■
y取得最大值必须且只需2x+■=■+2kπ,k∈Z,
即x=■+kπ,k∈Z
所以当函数y取得最大值时,自变量x的集合为{x|x=■+kπ,k∈Z｝
点评:本题的突破口是利用三角函数的降幂公式进行恒等变形,重点考查了三角函数最值所取得的条件。
例7.设向量■=(3cosx,3sinx),■=(3cosx,sinx),■=(2,0),向量■与向量■的夹角为θ,当变量x∈(0,■)时,(1)求证:(■-■)⊥■
(2)求角θ的最大值及相应的x值。
解:(1)∵■-■=(0,2sinx),而■=(2,0)
∴( ■ -■ )・ ■=0×2+2sinx×0=0
∴(■-■)⊥■
(2)∵cosθ=■=■
=■
又∵x∈(0,■)
令:■=t,则t∈(1,3)
cosθ=■≥■(当t=■,即cosx=■时取等号)
又∵θ∈(0,π),cosθ在(0,π)内为减函数
∴θ≤■
θ的最大值为■,此时相应的x值为■
点评:本例运用了换元法、基本不等式等初等函数最值问题的求法,而其核心是以向量为载体考查三角函数的最值问题。
三角函数最值问题的各种解法之间可以互相渗透,而三角函数的有界性则贯串于三角函数问题的始终。